Pertidaksamaan Pada Sistem Bilangan Real

 Pengertian Pertidaksamaan

Notasi pertidaksamaan meliputi :

“ < ” notasi kurang dari

“ > ” notasi lebih dari

“ ≤ ” notasi kurang dari atau sama dengan

“ ≥ ” notasi lebih dari atau sama dengan

Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan satu variabel berupa interval atau selang yang dapat digambarkan dalam suatu garis bilangan

Sedangkan pertidaksamaan linier satu variabel yaitu pertidaksamaan yang memuat satu variabel dengan pangkat tertinggi satu.

Terdapat empat istilah dalam interval, yaitu interval terbuka, interval tertutup, interval berhingga dan interval tak hingga.

Untuk lebih jelasnya ikutilah gambar berikut ini untuk variabel x :

1. Sifat-Sifat Pertidaksamaan

(1) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan tidak berubah jika penambahan atau pengurangan suatu bilangan (variabel) yang sama dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan

Contoh : 3 < 6

3 + 4 < 6 + 4 (kedua ruas ditambahkan 4)

      7 < 10

(2) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan tidak berubah jika perkalian atau pembagian suatu bilangan (variabel) positip yang sama dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan

Contoh : 3 < 6

3 x 2 < 6 x 2 (kedua ruas dikalikan 2)

      6 < 12

(3) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan akan berubah jika perkalian atau pembagian suatu bilangan (variabel) negatip yang sama dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan

Contoh : 3 < 6

3 x (–5) < 6 x (–5) (kedua ruas dikalikan –5)

       –15 > –30

2. Pertidaksamaan Linear 

Jika diartikan per kata, pertidaksamaan linear tersusun dari dua kata yaitu "pertidaksamaan" dan "linear".

Pertidaksamaan merupakan suatu bentuk/kalimat matematis yang memuat tanda lebih dari “ > “, kurang dari “ < “, lebih dari atau sama dengan “ “, dan kurang dari atau sama dengan “ “.

Sementara itu, linear dapat diartikan sebagai suatu bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya adalah satu. Berikut akan dijelaskan mengenai contoh penerapan pertidaksamaan linear.

3. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pernyataan matematika yang menghubungkan ekspresi kuadrat sebagai kurang dari atau lebih besar dari yang lain. Beberapa contoh atau bentuk umumnya adalah:

•ax2+bx+c>0

•ax2+bx+c≥0

•ax2+bx+c<0

•ax2+bx+c≤0

Solusi untuk pertidaksamaan kuadrat adalah bilangan real yang akan menghasilkan pernyataan benar jika variabel diganti. Cara untuk bisa menentukan akar–akar pertidaksamaan kuadrat sebenarnya masih sama saja dengan cara menentukan akar–akar persamaan kuadrat. Namun akan diperlukan langkah dengan mengambil harga nol nya.

contoh :

pertidaksamaan kuadrat x2 – 8x + 15 ≤ 0 untuk x ∈ R adalah…

A. {x|-5 ≤ x ≥ -3}

B. {x|3 ≤ x ≤ 5}

C. {x|x ≤ -5 atau x ≥ -3}

D. {x|x ≤ -3 atau x ≥ 5}

E. {x|x ≤ -3 atau x ≥ -5}

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita faktorkan pertidaksamaan diatas dengan cara:

→ x2 – 8x + 15 ≤ 0

→ (x – 3) (x – 5) ≤ 0

→ x1 = 3 atau x2 = 5

Lalu kita buat garis bilangan. Untuk menentukan tanda (+) atau (-) kita subtitusikan angka < 3 (misalkan x = 2) ke x2 – 8x + 15 = 22 – 8 . 2 + 15 = +3. Karena hasilnya positif berarti tanda garis bilangan positif (+, – , +) seperti gambar dibawah ini.

Karena notasi pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan bertanda negatif atau pada interval 3 ≤ x ≤ 5. Jadi soal ini jawabannya B.

4. Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan Tingkat Tinggi

Contoh:

(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0

(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0

Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3

Garis bilangan:

•menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <

•jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif

•karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif

•karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif

•selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling

•karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif.

5. Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut

Penyelesaian:

•Ruas kanan dijadikan nol

•Samakan penyebut di ruas kiri

•Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)

•Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)

•Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4

Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

•Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0

–5x = –20 → x = 4

Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3

Garis bilangan: 

6. Pertidaksamaan Kuatrat

variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |

(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)

Pengertian nilai mutlak:

Penyelesaian:

Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0

Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0

Contoh :

|2x – 3| ≤ 5

berarti:

–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5

–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3

–2 ≤ 2x ≤ 8

Semua dibagi 2:

–1 ≤ x ≤ 4

Sifat-Sifat Nilai Mutlak

Pada operasi persamaan nilai mutlak, ada beberapa sifat-sifat dari nilai mutlak yang bisa membantu kamu menyelesaikan persamaan bilangan mutlak. Berikut ini adalah berbagai sifat-sifat tersebut:

•|x| ≥ 0

•|x|=|-x|

•|x-y|=|y-x|

•|x|=√|x²|

•|x|²=x²

•jika |x|<|y| maka x²<y²

•|xy|=|x| |y|

•|x/y|=|x|/|y|; y≠0

•|x-y|=|x|-|y|

•|x+y|=|x|+|y|